Resultado de búsqueda
Series de Fourier: un tratado elemental, con notas históricas y ejercicios resueltos Antonio Cañada Villar Departamento de Análisis Matemático. Universidad de Granada
- 819KB
- 226
Ejercicios resueltos de Serie de Fourier. 1 Ejercicios resueltos 1. Sabiendo que si f : R ! R una función periódica integrable de período T, los coe–cientes de Fourier de f en el intervalo [T 2; T 2] estÆn de–nidos por: a n = 1 T=2 Z T=2 T=2 f (x):cos(n! 0x) dx; n 2 N 0 b n = 1 T=2 Z T=2 T=2 f (x):sen(n! 0x) dx; n 2 N donde ! 0 = 2ˇ T ...
- Suma de funciones periódicas
- Calculemos su periodo
- Ejemplo
- El resultado de Fourier es relevante para la teoría de ecuaciones diferenciales
- Coeficientes de la serie de Fourier
- Ejemplo
- Ejemplo 2
- Simétrica
- Dem.
- Problema de la convergencia de las series de Fourier
- convergencia de Dirichlet
- Teorema de Dirichlet
- Ejemplo
- Verde
- Análisis espectral
- Si extendemos el índice
- Ejemplo
- Teorema de Parseval
- Ejemplo
- Espectro
- Ejemplo
La suma de funciones periódicas da como resultado una función periódica si el cociente de los periodos implicados , y , es racional, en tal caso diremos que los periodos son conmesurables
El periodo de la función total es el positivos y de manera que más pequeño tal que existen enteros Igualando las dos expresiones para queda Los enteros positivos más pequeños para los que se cumple la igualdad anterior son , y se obtiene
La función no es periódica Los dos periodos no son conmesurables Nota histórica A principios del siglo XIX Jean-Baptiste-Josep Fourier, estudiando los fenómenos relacionados con la conducción del calor, llegó a la conclusión que cualquier función periódica se podía poner como suma infinita de funciones seno y coseno con periodos submúltiplos del p...
Si una función periódica , con periodo fundamental , es el término independiente de una EDO lineal con coeficientes constantes, entonces donde los coeficientes y que se pueden calcular a partir de Para cada seno y coseno de la suma es posible calcular la solución particular de la EDO lineal con coeficientes constantes que estemos ...
Dada una función periódica con periodo , los coeficientes de su serie de Fourier se calculan Puesto que en la práctica nos interesará cortar la suma infinita en algún término, llegaremos a la expresión que se conoce como la n-ésima suma parcial de la serie de Fourier, en la cual sólo se consideran los n primeros términos en senos y cosenos,...
Sea la función que se ha extendido periódicamente con periodo Calculemos su serie de Fourier Resumiendo La serie de Fourier de la función periódica es negro
También podemos notar como en las dos series de Fourier hay muchos coeficientes que son 0 Ejemplo 1 Ejemplo 2 Esto no es una casualidad, y saber las condiciones en las que pasa esto nos puede ahorrar mucho cálculo Recordemos que Una función simétrica si antisimétrica se dice que es: para todo si para todo Las funciones seno son antisimétrica...
Las funciones que tienen simetría o antisimetría tienen buenas propiedades respecto al producto El producto de dos funciones simétricas es una función simétrica El producto de una función simétrica y una antisimétrica es una función antisimétrica El producto de dos funciones antisimétricas es una función simétrica Veamos el resultado fundamental qu...
Aplicando estos resultados al cálculo de los coeficientes de la serie de Fourier de una función periódica tendremos: Si Si es simétrica, entonces es antisimétrica, entonces 3. Si añadiendo una constante a entonces se obtiene una función antisimétrica, El siguiente resultado permite, en ciertos casos, simplificar el cálculo de los coeficiente...
Nos preguntamos hasta que punto es válido aproximar una función por su serie de Fourier Con el fin de poder contestar a esta pregunta enunciaremos el teorema de
Dada una función continua a trozos, definimos donde y izquierda. como son los límites de por la derecha y por la Estos límites existen en todos los puntos, dado que tiene, como mucho, un número finito de discontinuidades de salto en cualquier intervalo finito. Fenómeno de Gibbs En los puntos donde la función es continua tenemos q...
Si es una función periódica, continua a trozos, y tal que en cada punto existen las derivadas por la derecha y por la izquierda, entonces la serie de Fourier de vale en todos los puntos lo mismo que la función Interpretación: las sumas parciales de Fourier convergen puntualmente a en los puntos donde la función es continua y a la media de...
extendida periódicamente con periodo Como esta función es antisimétrica Fenómeno de Gibbs Ejemplo extendida periódicamente con periodo Como esta función es antisimétrica Como Fenómeno de Gibbs Azul
Fenómeno de Gibbs Detalle alrededor de Se ve como al aumentar Azul Rojo Verde el pico no disminuye, y sólo se aproxima al punto de discontinuidad Fenómeno de Gibbs
Para presentar la transformada discreta de Fourier, conviene manipular la expresión de la serie de Fourier de una función periódica y reescribirla en término de exponenciales complejas. Utilizando Análisis espectral
definición a valores negativos mediante la siguiente podemos reescribir la serie de Fourier Análisis espectral Los coeficientes se calculan combinando las expresiones para y Esto permite calcular , y los valores de se obtienen tomando el complejo conjugado del resultado para Análisis espectral
Obtengamos la forma compleja de la serie de Fourier de la función extendida con periodo Análisis espectral Pasando el complejo a forma cartesiana se obtiene Por lo que la forma compleja de la serie de Fourier para esta función es Análisis espectral A partir de la forma compleja se puede recuperar la forma real de la serie de Fourier calculand...
Si es una función periódica con periodo , continua a trozos, y tal que en cada punto existen las derivadas por la derecha y por la izquierda yy son los coeficientes de su serie compleja de Fourier, entonces se verifica Interpretación. La integral es proporcional a la potencia media de la señal sobre un periodo. Por lo tanto, la potenci...
Sea la función periódica con periodo Los son más pequeños que los , esto es debido a que la función es casi antisimétrica si se desplaza hacia abajo cierta cantidad Análisis espectral
Como la contribución a la potencia media depende del cuadrado del espectro, podemos ver que el armónico fundamental ( ) tiene una importancia casi el doble que el siguiente ( ), y a partir de ahí la caída es progresiva Aunque la mayor parte de la energía de esta señal está en el término dc ( ) Análisis espectral
Sea la función periódica con periodo Se corresponde casi con la función espectro refleja este hecho con su periodo natural, y su Análisis espectral es prácticamente nulo, ya que función es casi antisimétrica es muy pequeño, debido a que la La función es casi un seno, y eso se manifiesta en el valor predominante del primer armónico An...
27 de may. de 2020 · Series de Fourier: aplicaciones, ejemplos y ejercicios resueltos. Las series de Fourier consisten en una sumatoria de infinitos términos, los cuales constan de funciones armónicas, seno y coseno, cuyo argumento es múltiplo entero de una frecuencia fundamental.
SERIES DE FOURIER. EJERCICIOS Ejercicio 1 Hallar la serie de Fourier de la función f (x), de periodo 2π, de–nida por: f (x) = senx si x 2 [0,π]; f (x) = 0 si x 2 (π,2π).Solución: f (x) ˘ S(x) = 1 π + 1 2 senx 2 π ∑ ∞ n=1 1 (4n2 1) cos2nx. Ejercicio 2 Hallar la serie de Fourier de la función f (x), de periodo 2π, de–nida por:
24 de oct. de 2014 · Este documento presenta ejercicios resueltos y propuestos sobre series de Fourier. Los ejercicios tratan sobre temas como hallar el período de funciones, probar la ortogonalidad de la base de funciones seno y coseno, y determinar los coeficientes de Fourier y las representaciones en serie de Fourier para diferentes funciones.
Ejercicio 20 Hallar el desarrollo en serie de Fourier, de la función de periodo 2, de–nida por: f(x) = x, si x 2 [0;1]; f(x) = 1 x, si x 2 (1;2]. Solución: f(x) ˘
