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Si una sucesión {xn} verifica que {xn} → x y que {xn} → y, con x,y ∈ R, entonces x = y. Para comprobarlo, fijamos ε > 0 y usamos la definición de convergencia para encontrar m1,m2 ∈ N tales que |xn − x| < ε para n > m1 y |xn − y| < ε para n > m2. Tomando entonces. | − y| 6 0, es decir, x = y.
Una sucesión a (n) es convergente cuando tiene límite finito. El límite L de una sucesión a (n) es el número al que la sucesión se aproxima cada vez más. Se dice que la sucesión a (n) converge a su límite L y se expresa por. O bien, por a (n)→L. Ejemplo 1: La sucesión a (n)=1/n es convergente a 0. Sus primeros términos son.
1. Convergencia. Una sucesión es convergente cuando tiene límite finito. El límite de una sucesión es el número al que la sucesión se aproxima cada vez más. Se dice que la sucesión converge a su límite y se expresa por. O bien, por . Ver ejemplo. Ver definición formal. Una sucesión es divergente cuando no tiene límite.
- Introducción
- Límite de Una Sucesión
- Ejemplos de Sucesiones Convergentes
- Ejemplos de Sucesiones No Convergentes
- Más Adelante…
- Tarea Moral
- Entradas relacionadas
- Agradecimientos
Anteriormente se dio la definición de sucesión y revisamos algunos ejemplos. En esta entrada, se definirá la convergencia para una sucesión y se darán varios ejemplos de sucesiones convergentes y no convergentes.
A continuación daremos la definición de límite de una sucesión: Definición. Sea {an} una sucesión en R. Sea L∈R, decimos que L es el límite de la sucesión {an} si para todo ε>0 existe un número natural n0 tal que para todo n≥n0 se satisface |an–L|<ε. Si una sucesión tiene como límite a L, también decimos que converge a L y lo denotamos como limn→∞a...
Ahora continuaremos con algunos ejemplos de sucesiones convergentes. Es importante recalcar que para demostrar que una sucesión converge a L, deberemos especificar las condiciones que n0 debe cumplir tal que para un ε>0 arbitrario dado, |an–L|<ε para todo n≥n0. Ejemplo 1. Sea k un número real y consideremos la sucesión {an}={k}, entonces limn→∞k=k....
Después de haber revisado ejemplos de sucesiones convergentes, vale la pena conocer sucesiones que no convergen, es decir, que su límite no existe. Ejemplo 5. Consideremos la sucesión {an}={(−1)n}. Probaremos que el límite de {an}no existe. Demostración. Procederemos a hacer esta demostración por contradicción. Supongamos que existe L∈R tal que lim...
Se han revisado las definiciones de convergencia y divergencia a infinito, hemos visto diversos ejemplos de ambas definiciones. En las siguientes entradas se revisarán criterios para la convergencia de sucesiones, así como sus propiedades y teoremas con lo cual podremos determinar si una sucesión es convergente o no de manera más rápida.
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista. 1. Prueba que el límite de una sucesión convergente {an} es único. Sugerencia: 1. Proceder por contradicción y asumir que existen dos números reales distintos L y L′ tales que limn→...
Ir a Cálculo Diferencial e Integral IEntrada anterior del curso: Sucesiones de números realesSiguiente entrada del curso: Operaciones con sucesiones convergentesResto de cursos: CursosTrabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
Una sucesión a (n) es convergente cuando tiene límite finito. El límite L de una sucesión a (n) es el número al que la sucesión se aproxima cada vez más. Se dice que la sucesión a (n) converge a su límite L y se expresa por O bien, por a (n)→L. Ejemplo 1: La sucesión a (n)=1/n es convergente a 0.
¿Cómo podemos determinar si una sucesión converge o diverge? Míranos en acción mientras determinamos la convergencia/divergencia de diversas sucesiones. Creado por Sal Khan.
Propiedades de sucesiones convergentes. Toda sucesión convergente tiende a un único valor, lo que se conoce como la unicidad del límite. Si todos los términos de una sucesión son iguales a un mismo valor, entonces el límite es ese valor.
