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Convergencia absoluta. Apariencia. ocultar. En matemáticas, una serie (o a veces una integral) de números se dice que converge absolutamente si la suma de los valores absolutos de los términos (o integrandos) es finita. Definición formal. Se dice que la serie es absolutamente convergente si la serie es convergente .
Si ∑ n=1∞ an ∑ n = 1 ∞ a n converge pero ∑ n=1∞ |an| ∑ n = 1 ∞ | a n | diverge decimos que ∑ n=1∞ an ∑ n = 1 ∞ a n es condicionalmente convergente. Si considera estas definiciones por un momento, debe quedar claro que la convergencia absoluta es una condición más fuerte que la simple convergencia.
La convergencia absoluta es importante para el estudio de series infinitas porque su definición es lo suficientemente fuerte como para tener propiedades de sumas finitas que no todas las series convergentes poseen - una serie convergente que no es absolutamente convergente se llama condicionalmente convergente, mientras que serie absolutamente ...
convergencia y convergencia absoluta son nociones equivalentes. En general, como la nomenclatura sugiere, la convergencia absoluta de una serie implica su convergencia. Este hecho es una consecuencia directa del teorema de complitud de R: Teorema. Toda serie absolutamente convergente es convergente. Más concretamente, dada una sucesión {x
Definición. La serie ∑ n = 1 ∞ a n es absolutamente convergente si ∑ n = 1 ∞ | a n | es convergente. Veamos un ejemplo. Ejemplo. ∑ n = 1 ∞ ( − 1) n 5. Sea la sucesión: a n = ( − 1) n n 5, tomando el valor absoluto de la sucesión obtenemos que: ∑ n = 1 ∞ | a n | = ∑ n = 1 ∞ | ( − 1) n n 5 | = ∑ n = 1 ∞ 1 n 5.
Por lo tanto, la serie ∞ ∑ n = 1( − 1)n 3n − 3 5n − 10 diverge. Saber que una serie converge absolutamente nos permite hacer dos declaraciones importantes, dadas en el siguiente teorema. La primera es que la convergencia absoluta es “más fuerte” que la convergencia regular.
"Convergencia absoluta" significa que una serie converge aun cuando tomas el valor absoluto de cada término, mientras que "Convergencia condicional" significa que la serie converge, pero no absolutamente.
